مقاله مجموعه‌های مركزی و شعاع‌ها در گراف‌های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجائی

دسته: علوم انسانی
بازدید: 79 بار
فرمت فایل: doc
حجم فایل: 209 کیلوبایت
تعداد صفحات فایل: 29

مقاله مجموعه‌های مركزی و شعاع‌ها در گراف‌های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجائی در 29 صفحه ورد قابل ویرایش

قیمت فایل فقط 3,000 تومان

مقاله مجموعه‌های مركزی و شعاع‌ها در گراف‌های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجائی در 29 صفحه ورد قابل ویرایش

فهرست

عنوان

پیش گفتار .........................................................................................................

خلاصه‌ی مطالب ................................................................................................

1فصل اول

1-1مقدمه .........................................................................................................

1-2پیش نیازها ..................................................................................................

                     تعاریف ...................................................................................

                     قضیه ها....................................................................................

2فصل دوم

2-2مركز ...........................................................................................................

2-3 میانه ..........................................................................................................

2-4 مجموعه های غالب ....................................................................................

منابع ...........................................................................................................................


 خلاصه‌ی مطالب

          برآن شدم تا با تلاش مستمر مطالبی را از نظر گرامیتان بگذرانم كه بدیع باشد و قابل ارائه، امیدوارم رضایت خاطر شما خوانندگان گرامی را جلب نمایم. دراین‌جا خلاصه‌ای از مطالبی كه مطالعه خواهید كرد آورده شده است.

          دریك حلقه‌ی جابجایی و یكدار R، گراف مقسوم علیه صفر ، گرافی است كه رأس های آن مقسوم علیه های صفر غیرصفر R می باشند كه درآن دو رأس مجزای xو y مجاورند هرگاه xy=0. این مقاله اثباتی براین مطلب است كه اگر R نوتری باشد آن گاه شعاع ،0،1 و یا 2 می باشد و نشان داده می‌شود كه وقتی R آرتینی می‌باشد اجتماع مركز با مجموعه {0} اجتماعی از ایده آل های پوچ ساز است. زمانی كه مركز گراف مشخص شده باشد می توان قطر  را تعیین كرد و نشان داده می‌شود كه اگر R حلقه‌ی متناهی باشد آن گاه میانه زیر مجموعه ای از مركز آن است. زمانی كه R آرتینی باشد با به كاربردن عناصری از مركز  می‌توان یك مجموعه‌ی غالب از  ساخت و نشان داده می شود كه برای حلقه‌ی متناهی ، كه F میدان متناهی است، عدد غالب  مساوی با تعداد ایده آل های ماكسیمال مجزای R است. و هم‌چنین نتایج دیگری روی ساختارهای  بیان می‌شود.

واژه های كلیدی

مجموعه های مركزی؛ حلقه‌ی جابجایی؛ مقسوم علیه صفر؛ گراف مقسوم علیه صفر


فصل اول

1-مقدمه

          حلقه‌ی جابجایی و یكدار R داده شده است. گراف مقسوم علیه صفر، ، گرافی است كه رأس های آن مقسوم علیه های صفر غیرصفر حلقه R می باشند، بین دو رأس مجزای x  و y یال وجود دارد اگر وفقط اگر xy=0 باشد. گراف مقسوم علیه صفر حلقه‌ی R با  نشان داده می شود. این تعریف از  ابتدا توسط livings Ston (1999) و Anderson بیان شد كه تعداد زیادی از ویژگی های اساسی  مورد بررسی قرار گرفت. تعریف اصلی توسط Beck (1988) و Nasser (1993) و Anderson بیان شد كه همه‌ی عناصر حلقه به عنوان رأس های گراف انتخاب می شدند.

          و Anderson et al.(2001) , De meyer and Schnieider (2002), Smit (2002) مقاله‌های دیگری درارتباط با گراف مقسوم علیه صفر از حلقه های جابجایی ارائه دادند. این ساختار های گرافیكی به شكل موضوع های جبری دیگر توسط Cannon et al.(2005) and DeMeyer et al.(2002), Redmond (2002)2003,2004) تعمیم داده شده است، كه در ادامه به آن می پردازیم.

درطول این پژوهش برآنیم كه نتایجی را روی حلقه های یكدار و جابجایی متناهی بیابیم. این نتایج برای عمومی ترین موارد ممكن بیان می شود. هدف ارائه دادن همه‌ی نظریه های كاربردی از مركزیت گراف و تحقیق درمورد مفاهیم تقریباً محض از گراف های مقسوم علیه صفر می باشد. ابتدا نشان داده می شود كه شعاع های گراف مقسوم علیه صفر یك حلقه نوتری و جابجایی و یكدار 0، 1، 2 می‌باشد. این قضیه دربخش های بعدی برای تعریف خصوصیات سه مجموعه مركزی (مركز، میانه و مجموعه های غالب با اندازه‌ی می نیمال) درگراف های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجایی و یكدار به كاربرده می شود. و نیز ارتباط بین این مجموعه ها مورد بررسی قرار می گیرد. به عنوان پیامدی از این نتایج، ویژگی های دیگری از  را بیان می كنیم كه از جمله‌ی آن ها قطر و كران ها روی تعداد یال های گراف می‌باشد.

2-پیش نیازها

          بالطبع لازمه‌ی پردازش به مبحث مجموعه های مركزی و شعاع ها در گراف های مقسوم علیه صفر حلقه های جابجایی واقف بودن به تعاریفی است كه آن را باید پیش نیاز نامید:

تعریف 1.2.1 پوچ ساز (annihilator) x مجموعه‌ی عناصر  می باشد به طوری كه xy=0 به عبارت دیگر                                                     

تعریف 2.2.1عنصر ناصفر x درحلقه‌ی R را یك مقسوم علیه صفر (zero dirisor)  گوییم هرگاه عنصر ناصفری از R مانند موجود باشد به طوری كه xy=0.

مجموعه‌ی مقسوم علیه های صفر حلقه‌ی R را با Z(R) نشان می دهیم كه به صورت زیر می‌باشد:



تعریف 3.2.1عنصر  راعنصر پوچ توان R (nillpotent) می نامیم هرگاه  موجود باشد به طوری كه xn=0.

تذكر: بدیهی است كه هر عنصر پوچ توان یك مقسوم علیه صفر حلقه می‌باشد.

تعریف 4.2.1 پوچ رادیكال (nillradical) حلقه‌ی R ایده آلی شامل همه‌ی عناصر پوچ توان حلقه R می باشد كه به صورت nill (R) نمایش داده می شود.

تعریف 5.2.1اشتراك همه‌ی ایده آل های ماكسیمال حلقه‌ی R را رادیكال جیكوبسن R (Jacobson) می نامیم و با J(R) نمایش می دهیم.

تعریف 6.2.1 حلقه‌ی R راتحویل یافته یا تقلیل یافته  (reduced) می نامیم هرگاه عنصر پوچ توان غیرصفر نداشته باشد.

اكنون مروری داریم بر بعضی از تعریفات و نمادهای نظریه گراف:







حال فرض كنیم حلقه تحویل ناپذیر باشد پس .

فرض كنیم  كه Pi ها ایده آل های اول مینمال می‌باند. به ازای هر i=1,….,N . وجود دارد به طوری كه Pi=ann(ai). در نظر می گیریم:

یك مسیر می‌باشد x-aj-7 و یك مسیر است،

پس خروج از مركز v حداكثر 2 است پس شعاع حداكثر 2 می باشد.

با به كاربردن نتایج بالا یك نتیجه از تئوری حلقه ها را در ادامه بدست می آوریم:

نتیجه 11.1.2 فرض كنید R یك حلقه ی جابجایی و یكدار نوتری باشد و R حوزه صحیح نباشد آن گاه یك  به طوری xy=0 یا  می باشد برای هر .


2.2-مركز

          ثابت شد كه شعاع گراف مقسوم علیه صفر از یك حلقه ی جابجایی 0، 1و 2 است. مشخص كردن مركز گراف هدف بعدی می باشد. همانطور كه از نتایج قبل انتظار می رود دانستن دو نكته زیر الزامی است.

اگرشعاع گراف مقسوم علیه صفر، صفر باشد آنگاه گراف یك رأس دارد. پس مركز دارای نتها یك رأس می باشد.

اگرشعاع گراف مقسوم علیه صفر، 1 باشد آن گاه عناصر مركز دقیقاً همان عناصر با خروج از مركز 1 می باشند.

ولم 1.2.2 فرض كنید (R,M) یك حلقه‌ی جابجایی و یكدار آرتینییی و موضعی باشد كه حوزه صحیح نیست اگر x یك عضو از مركز باشد آن گاه x2=0 می باشد.

برهان: R یك حقله‌ی آرتینییی است پس  وجود دارد به طوری كه Mk={0}. چون هر عضو غیر صفر Mk-1 دارای خروج از مركز 1 می باشد پس  می باشد.

برهان خلف : فرض می كنیم x درمركز گراف باشد و  و  زیرا در غیر این صورت  كه یك تناقض می باشد. پس  و  بنابراین x2 نیز عضو دیگری از مركز گراف می باشد. از آن‌جایی كه e(x)=1 و x3=x(x2)=0 پس  زیرا درغیر این صورت یعنی اگر x2+x=0 پس x2=(-x2)2=x4=0 كه این یك تناقض است. بنابراین x2+x نیز عضوی دیگر از از مركز گراف می باشد.

قضیه 2.2.2 فرض كنید R یك حلقه‌ی جابجایی و یكدار نوتری باشد به طوری كه شعاع ، 0یا 1 باشد آن گاه مركز :

(A)  اگر z(R) یك ایده ال باشد، است.

(B)  اگر  ، {(0,1),(1,0)} است.

(C)  اگر كه A یك حوزه صحیح نامساوی  می باشد، {(1,0)} است.

نتیجه 3.2.2 فرض كنید R یك حلقه‌ی جابجایی و یكدار نوتری  باشد به طوری كه شعاع 0یا 1 باشد آن‌گاه مركز :

(A)  اگر R موضعی با ایده ال ماكسیمال M باشد، (0-z(R)-{0} است.

(B)  اگر ، {(0,1),(1,0)} است.

(C)  اگر ، كه F میدان متناهی مخالف است، {(1,0)} می باشد.

با توجه به مفروضات بالا انتظار داریم درمواردی كه  مركز اجتماع {0} درگراف یك ایده ال باشد همچنین در تمامی موارد مركز اجتماع صفر اجتماعی از ایده ال های پوچ ساز ماكسیمال می باشد. درمورد (A) مركز اجتماع {0}، (0,M)=ann(M) درمورد (B  و درمورد (C) ann({0}A). علاوه بر این قابل توجه است كه درموارد (B) و (C) رادیكال جیكوبسون R صفر می باشد. اگر R موضعی و آریتنی باشد آن گاه  به عنوان مثال اگر  مركزاست. اگر ، {9x,18x} می باشد. حال قبل از بررسی ویژگی های كلی یك حالت خاص را بررسی می كنیم.

قضیه  4.2.2 [8;1-14] فرض كنید R یك حلقه‌ی جابجایی باشد. اگر  كه S,T حوزه صحیح می باشند آن گاه  یك گراف دو بخشی كامل است.

قضیه 5.2.2  اگر R یك حلقه‌ی جابجایی باشد و  كه S,T حوزه‌ی صحیح‌اند  و هیچكدام با  یكریخت نیستند. آن گاه شعاع  ، 2 می باشد و مركز  مجموعه ی تمام رأس های  می باشد.

دراین جا مركز اجتماع صفر یك ایده آل نیست اما اجتماعی از پوچ سازها از دو ایده ال ماكسیمال زیر می باشد.  از طرفی دراین مورد J(R)={0}.

قضیه 6.2.2 فرض كنید m,n دو عدد صحیح مثبت باشند و
 كه هر Ri یك حلقه‌ی موضعی جابجایی و یكدار آرتینی است كه میدان نیست و هر F­i یك میدان می باشد. برای هر j=1,…,m ایده آل
 را تعریف می كنیم، آن گاه مركز گراف   می باشد.

برهان : برای این كه نشان دهیم كه رئوس مجموعه‌ی مركز در اجتماع بالا می باشند باید هر عضوی كه درآن می گیریم به فاصله كمتراز 2 ازدیگر رئوس گراف قرار داشته باشد.

عضو دلخواه a را از مجموعه رئوس درنظر می گیریم : a=(a1,…,an,b1,…,bm) كه  با توجه به نتیجه‌ی 9.1.2 كافی است نشان دهیم :



به ازای هر I=1,…,n فرض می كنیم Mi یك ایده آل ماكسیمال Ri باشد. پس

 و فرض می كنیم x=(x1,…,xn,0,…,0) كه  می باشد.

بدون كاسته شدن از كلیت مسأله:  رادر نظر می گیریم. چون یك یال بین آنها موجود است طبق تعریف گراف :

if Vi xiai=0  d(x,a)=1

پس  و حكم ثابت می شود. چون  بوده پس در اجتماع بالا قرار دارد. حال فرض كنیم :                                           

چون Rj حلقه‌ی موضعی می باشد پس  radius، بنابراین با e(yj)=1 وجود دارد.

تعریف می كنیم y=(0,…,0,yj,0,…,0) كه  و   و  و  و x-y-a یك مسیر در می باشد. اگر  و aj=1 آن گاه به ازای هر  ، bk=0 می باشد.

اكنون z=(0,…,0,1,0,..,0) را در نظر می گیریم كه درایه های غیرصفر Fk همانی اند و  پس x-z-a یك مسیر در  می باشد بنابراین درهردو حالت  .

حال فرض كنیم  به ازای هر j=1,..,m بدون كاسته شدن از كلیت مسأله  درنظر می گیریم.



و a=(a1,…,an,b1,…,bm) اگر bj=0 آن گاه va=0 و d(v,a)=1 . اگر bk=. برای هر آن گاه تعریف می كنیم y=(0,…,0,1,0,…,0) كه درایه غیر صفر Fk همانی می باشد و  پس v-y-a یك مسیر در  می باشدو اگر  پس درایه ah برای  یك مقسوم علیه صفر Rh می باشد.

پس  وجود دارد به طوری كه chah=0 و c=(0,…,ch,0,..,0) و  پس r-c-a یك مسیر در  است و d(a,v)=2 پس در تمامی حالات  وحكم ثابت می شود.

حال فرض می كنیم z=(d1,…,d­n,F1,…,Fm) عضوی از اجتماع بالا نباشد نشان می‌دهیم در مركز گراف قرار ندارد. یعنی اگر  باشد آن گاه . پس طبق نتیجه 4-2 باید  و ann(w)nann(z)={0}

حالت اول :  

تعریف می كنیم w=(1,…,1,0,1,..,1) كه صفر درمكان n+i ام قرار دارد. پس  و ann(w)=Ii پس ann(w) ann(z)={0}

حالت دوم : به ازای هر  di از Ri همانی باشد. t رامقسوم علیه صفر غیرصفری از R1 و w=(1,…,1,t,1,..,1) پس

  درنتیجه ann(w)ann(z)={0}



 – میانه

تعریف 1.3.2 برای هر راس x از گراف همبند G ، status x را كه با نماد s(x) نشان داده می شود، مجموع فاصله های x از رئوس گراف می باشد كه به صورت :  نوشته می شود.

تعریف 2.3.2 مجموعه ای از رئوس با status می نیمال میانه گراف نامیده می شود. (خواهیم گرفت اگر Gیال نداشته باشد میانه‌ی گراف v(G),G می باشد و حالتی كه مجموعه‌ی رئوس گراف تهی باشد رابررسی نمی كنیم)

status روی گراف های متناهی معنی پیدا می كند. پس در سراسر این بخش تمامی حلقه ها متناهی درنظر گرفته می شوند پس گراف های مقسوم علیه صفر نیز متناهی می باشند.

اگر چه مركز و میانه به عنوان مركزیت یك گراف ارتباط دارند ولی لزومی ندارد بریكدیگر منطبق باشند. ممكن است مركز زیر مجموعه محض از میانه باشد یا میانه زیر مجموعه‌ی محض از مركز، درحقیقت برای هر عدد حقیقی مثبت n می توان گرافی همبند ساخت با تعداد متناهی رأس به طوری كه فاصله هر رأس از مركز به فاصله هر رأس از میانه حداقل n باشد.

به طور كلی پیدا كردن میانه ی گراف مشكل تر از یافتن مركز گراف می باشد . قضیه‌ای كه در ادامه آمده است ارتباط بین مركز و میانه را در مورد گراف های مقسوم علیه صفر از حلقه های جابجایی ویكدار متناهی بیان می كند.

  می دانیم كه با توجه به تعریف گراف مقسوم علیه صفر

 اگر                                                               deg(x) =           x2=0

deg(x) = در غیر اینصورت           

قضیه 4.3.2  - فرض كنید R یك حلقه جابجایی و یكدار متناهی باشد كه حوزه صحیح نمی باشد . اگر شعاع  حداكثر 1 باشد آن گاه میانه و مركز مساویند واگر شعاع 2 باشد آن گاه میانه زیر مجموعه ای از مركز است.

برهان: اگر شعاع صفر باشد پس گراف تنها دارای یك رأس می باشد كه هم در مركز هم در میانه قرار دارد پس میانه و مركز مساویند.

اگر شعاع 1 باشد مجموعه ی رئوس مركز و میانه برابرند پس مركز و میانه در این حالت هم بر هم منطبق می باشند .

فرض می‌كنیم شعاع 2 باشد آن گاه با توجه به نتیجه –R  . 9.1.2 موضعی نیست و با  یكریخت نمی باشند كه در آن K  میدان متناهی است . فرض كنید یك تجزیه آرتینی از حلقه ی R  می باشد ( بدون كاسته شدن از كلیت مسأله عناصری از R  را كه در این حاصل ضرب قرار دارند را بررسی می كنیم) فرض Z  یك رأس از باشد كه در مركز گراف قرار ندارد و به صورت  z=(a1,…,an,b1,…,bm) می باشد. در تمامی حالات ممكن یك رأس x  متعلق به مركز گراف وجود دارد به طوری كه s(x)


تساوی (*)  نشان می دهد كه همه ی رأس های میانه باید دارای درجه ی یكسان باشند . چون z  در مركز قرار ندارد پس رأس w  موجود است به طوری كه d(zw)=3 بنابراین:

حالت 1/ : اگر و برای هر  . فرض كنید x=(0,..,0,1,0,..,0)

كه مؤلفه‌ی غیر صفر fi همانی می باشد ، آن گاه x در مركز  است و
 ann(z) ann(x) از آن جا كه z و x  پوچ توان نیستند نتیجه می گیریم كه:



(چون اگر پوچ توان بودند ( deg(x) = -2  پس تا اینجا داریم :

deg (z) < deg(x) . . با توجه به رابطه(*) و(**) داریم :

s(z) > 21z(R)* 1-deg (z) –2 > 21z(R)* 1 –deg (x) –2 =s(x) s(z) >s(x)

حالت2:/ اگربرای  و هر  با برای  (كه  Mi ایده آل ماكسیمال Ri  است ) فرض كنیدx= (0,..,0,ak,0,..,0) باشد كه x  در مركز   قرار دارد . و پس



بنابراین .با توجه به (*) و (**) داریم : s(z)>s(x) . .

حالت 3/: اگر به ازای هر  ، ai درRi   همانی باشد ، فرض كنید c  یك عضو غیر صفر از ایده آل های ماكسیمال Ri باشد x=(0,…,0,C,0,…,0) كه در مركز  قرار دارد و . بنابراین



در نتیجه با توجه به (*) و (**) :  s(z) > s(x) .

بنابراین در تمامی حالات ممكن یك رأس x  از مركز وجوددارد كه  s(x) < s(z)  پس z  نمی تواند در میانه باشد پس میانه زیر مجموعه ای از مركز است .

نتیجه 5.3.2فرض كنید R یك حلقه ی جابجایی و یكدار متناهی باشد كه حوزه صحیح نیست . اگر شعاع ، 2 باشد آن گاه مركز و میانه برابرند اگر و تنها اگر R  با حاصل ضرب مستقیمی از تعداد متناهی از كپی ها از میدان متناهی واحد یكریخت باشد .( یعنی كه  F  میدان متناهی واحد و می باشد)

برهان: روند اثبات به این صورت است كه اگر   برای میدان متناهی F و  آن گاه مركز و میانه هردو دقیقا شامل عناصری از Fd  هستند كه d-1  مولفه ی آن صفر می باشد . از آن جا كه شعاع ,2 می باشد پس مانند قضیه

 1-4تجزیه ی آرتین R  را بصورت زیر در نظر می گیریم  ابتدا نشان می‌دهیم كه اگر (یعنی فاكتورهایی در تجزیه ی آرتینی موجودند كه میدان نمی باشند) آن گاه مركز و میانه مساوی نمی باشند.

فرض كنید و برای هر j و برای هر i فرض كنید :  w=(0,0,…,1)كه در مركز قرار دارد . از آنجا كه



آن گاه  deg (w) = r1…rnc1…cm-1-1

R1  موضعی و M1  تنها ایده آل ماكسیمال R1 و را طوری در نظر می گیریم كه خروج از مركز  ، 1 باشد . فرض كنید x=( z, 0 , … , 0 )  كه در مركز قرار دارد .



فرض كنید آن گاه deg(x)=kr2…rnc1…cm-2 چون annR1(z) یك ایده آل R1 است  را عاد می كند فرض می‌كنیم r1=sk برای مقدار حقیقی s  . حالا اگر میانه مساوی با مركز باشد آ ن گاه  deg(w) = deg(x)  پس :

skr2…rnc1…cm-1-1= kr2…rnc1…cm-2

بعد از خلاصه كردن و فاكتور گیری داریم :

k(r2…rnc1­…cm-1)(s-cm)=-1

 ولی ما  در نظر گرفتیم پس به تناقض رسیدیم  بنابراین تجزیه آرتینی از R  نباید عامل غیر میدان داشته باشد . و هم چنین این روندی برای اثبات این مطلب است كه میدان ها باید كار دینالیته یكسان داشته باشند .

           بعد از شرح قضیه 4.3.2 و نتیجه 5.3.2اكنون چند مثال را بررسی می‌كنیم . در مواردی كه میدان تحویل یافته داریم اگر  مركز و میانه  مجموعه ی تمام رئوس می باشند . اگر  آن گاه مركز و میانه  مجموعه {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} می‌باشند ( به شكل 2 ، صفحه 26 ) نگاه كنید . اگر مركز     و میانه {(0و2)و(0و1)} می باشد . در مواردی كه میدان تحویل ناپذیر باشد اگر آن گاه مركز  ، {(0,1),(2,0)} و میانه {(0,1)}می باشد ( به شكل 1 ، صفحه 26 ) نگاه كنید . توجه كنید  كه دو مثال  آخر نشان می دهد فقط در بعضی از موارد عناصری از میانه پوچ توان خواهند بود .

قیمت فایل فقط 3,000 تومان

برچسب ها : تحقیق مجموعه‌های مركزی و شعاع‌ها در گراف‌های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجائی , پروژه مجموعه‌های مركزی و شعاع‌ها در گراف‌های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجائی , مقاله مجموعه‌های مركزی و شعاع‌ها در گراف‌های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجائی , دانلود تحقیق مجموعه‌های مركزی و شعاع‌ها در گراف‌های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجائی , مجموعه‌های مركزی و